テンソル・ペアリング・アルゴリズム実装仕様

概要

この実装は、ファインマンのスカラー重力理論で必要となるテンソル量の組み合わせから、独立なスカラー量を生成するためのアルゴリズムです。

参照: https://x.com/7shi/status/1959100031790981364

物理的背景

問題設定

$h_{\mu\nu}$ を 2 階対称テンソルとし、添字の上げ下げはミンコフスキー計量 $\eta$ で行います。定義：

$h = {h^{\mu}}_{\mu}$（トレース）
$(\partial h) _ {\alpha} = \partial _ {\mu}{h^{\mu}} _ {\alpha}$（発散）

独立項の数

$h_{\mu\nu}$ について $n$ 次で、 $\partial _ {\lambda}h _ {\mu\nu}$ について 2 次のスカラー量で独立な項の数を $S_n$ とすると：

$S_1 = 16$（既知）
$S_2 = 43$
$S_3 = 93$
$S_4 = 187$
$S_5 = 344$
$S_6 = 607$

アルゴリズムの概要

このアルゴリズムは以下の手順で独立なスカラー量を生成します：

テンソル組み合わせ生成: 与えられた $h$ と $\partial h$ の個数から、すべてのインデックスペアリングを生成
第1段階正規化: normalize2による標準化（インデックス付け替えとトレース処理）
対称性フィルタリング: filter_pairingsによる同一テンソル間の対称性を考慮した重複除去

主要クラス

Tensor クラス

テンソル量を表現するクラス：

class Tensor:
    def __init__(self, partial, index_abs, index_rel)

パラメータ:

partial: Boolean - 微分テンソル($\partial h$)かどうか
index_abs: int - 絶対的なテンソル番号
index_rel: int - 相対的なテンソル番号

インデックス構造:

非微分テンソル($h$): [0, 0] （2つの対称インデックス）
微分テンソル($\partial h$): [0, 1, 1] （1つの微分インデックス + 2つの対称インデックス）

Index クラス

個別のテンソルインデックスを表現：

class Index:
    def __init__(self, tensor, index)

主要アルゴリズム

1. ペアリング生成 (`get_pairings1`)

すべてのインデックス間のペアリング（縮約）を生成します。キャッシュ機能により、同一の部分構造の重複計算を避けます。

2. 第1段階正規化 (`normalize2`)

処理手順：

トレース分離: 同一インデックスのペア ($h _ {\mu\mu}$) を分離
インデックスソート: 非トレースペアを .index でソート
出現順マッピング: テンソル番号を出現順で付け直し
最終正規化: normalize1で標準形に変換

テンソル番号付け替えロジック：

H テンソル: hmap.setdefault(i, len(hmap))
P テンソル: pmap.setdefault(i, len(pmap) + hnum)

3. 対称性フィルタリング (`filter_pairings`)

対称性の考慮：

H-H対称性: 同種の非微分テンソル間の交換対称性
P-P対称性: 同種の微分テンソル間の交換対称性
トレースペア除外: トレースを持つテンソルは対称性操作から除外

アルゴリズム：

filter_withで第1段階正規化を適用
各ペアリングについて：
- トレースペアを除外してテンソル番号リストを作成
- H同士、P同士の組み合わせ（combinations(hs, 2)等）を生成
- すべての組み合わせの順列を試行
- 重複チェックのためall_setに登録

性能特性

計算量

h=2,p=2: 78 → 48 → 43 (最終効果 1.8倍削減)
h=3,p=2: 322 → 155 → 93 (最終効果 3.5倍削減)
h=4,p=2: 1242 → 475 → 187 (最終効果 6.6倍削減)

メモリ効率化

レベル別キャッシュによる重複計算回避
Set-based重複検出による高速フィルタリング

入出力仕様

入力

h: 非微分テンソル($h_{\mu\nu}$)の個数
p: 微分テンソル($\partial_{\lambda}h_{\mu\nu}$)の個数

出力

独立なスカラー量の個数 $S_n$ (n = h)

検証済み結果

h	p	初期ペアリング	filter_with	filter_pairings	所要時間
2	0	2	2	2	一瞬
0	2	6	5	5	一瞬
1	2	19	16	16	一瞬
2	2	78	48	43	一瞬
3	2	322	155	93	1秒未満
4	2	1,242	475	187	6秒
5	2	4,468	1,399	344	22秒
6	2	15,098	3,924	607	32分

最終的な結果（filter_pairings）は理論予測と完全に一致しています。

対称性を考慮しない総当たりのペアリングは (h+3)! となります。初期ペアリングでは、数え上げの際にある程度の重複を排除しています。

7shi/README.md