解答の流れ
- 漸化式を整理
$$
A_n=\sqrt[(2n-1)!]{x^{\pi^{,2n-1}}};A_{n+1}^{-1}
\quad\Longrightarrow\quad
A_nA_{n+1}=x^{\displaystyle\frac{\pi^{,2n-1}}{(2n-1)!}}
$$
- 対数を取る
$$
a_n=\ln A_n,\qquad
c_n=\frac{\pi^{,2n-1}}{(2n-1)!},\qquad
\ln x=L
$$
すると
$$
a_n+a_{n+1}=c_nL
\quad\Longrightarrow\quad
a_{n+1}=-a_n+c_nL
\tag{★}
$$
- 交互和に書き換える
$$
b_n:=(-1)^na_n
$$
と置くと
$$
b_{n+1}=b_n-(-1)^nc_nL
$$
したがって
$$
b_{n+1}=b_1-L\sum_{k=1}^{n}(-1)^kc_k
$$
- 無限級数の評価
奇関数のテイラー展開
$$
\sin t=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{t^{,2k+1}}{(2k+1)!}
$$
を微分すると
$$
\cos t=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{t^{,2k-1}}{(2k-1)!}
\quad\Longrightarrow\quad
-\sin t=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{t^{,2k-1}}{(2k-1)!}.
$$
よって
$$
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kc_k
=\left.-\sin t,\right|_{t=\pi}
=0.
$$
- 収束条件から $A_1$ を決定
$n\to\infty$ で $A_n\to1$ (すなわち $a_n\to0$) と仮定すると
$$
0=\lim_{n\to\infty}a_n
=\lim_{n\to\infty}(-1)^n b_n
=-a_1-L!!\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^kc_k
=-a_1.
$$
したがって $a_1=0$ であり
$A_1=e^{a_1}=1.$
⸻
$A_1=1$ (任意の $x>0$ に対して同じ結果になる)
